수학을 다시 시작하는 이들을 위한 최고의 비주얼 가이드!

“버크민스터 풀러는 생각의 스케일이 컸던 사람이고, 아서 클라크는 생각의 스케일이 큰 이 시대 작가이지만, 픽오버는 이 둘을 뛰어넘었다.” -《와이어드》

“수학은 제대로 보면 진리만이 아니라 최상의 아름다움까지 가지고 있다.
바로 조각상이 지닌 차갑고 엄숙한 아름다움을.” -버트런드 러셀(수학자, 철학자, 노벨상 수상자)

“수학은 물리 세계의 성가시고 자잘한 사실들이 아니라, 오로지 우리 내면의 빛의 밝기에만 구속받는, 상상력과 환상, 그리고 창의력으로 가득한 경이롭고 미친 학문이다.” -그레고리 체이튼(수학자, 컴퓨터 과학자)

이 책은 연대기적 흐름에 따라 처음부터 끝까지 통독을 해도 좋고 아무 페이지나 펼쳐 각각의 수학적 아이디어에 관한 이야기를 읽어도 좋다. 또는 오른쪽 페이지들을 장식하고 있는 아름다운 일러스트레이션과 깨달음을 주는 컴퓨터 아트 들을 즐겨도 좋다. 그렇지만 픽오버는 각각의 수학적 정리와 발견, 또는 아이디어와 천재 수학자가 어떠한 변화와 발전의 과정을 거쳤는지 알 수 있도록 관련된 항목들끼리 서로 연결해 놓았다. 수학이 하늘에서 갑자기 떨어진 것이 아니라 인간 정신의 총체적 발전 과정과 함께 진화해 왔음을, 그리고 그 과정에서 인간의 ‘수학 뇌’ 역시 지수 함수적으로 진화해 왔음을 생생하게 보여 준다. 아마도 이 책은 수학이 실생활과 무관하다고 생각하며, 수학을 왜 학습해야 하는지 회의하는 사람들에게 던져지는 아름다운 도전장일 것이다. 이 책의 주요 특징을 살피면 다음과 같다.

▸ 시간 순으로 만나는 수학의 연대기: 수학은 과연 언제 시작되었을까? 클리퍼드 픽오버는 수학의 기원을 최초의 숫자 기호, 또는 최초의 사칙연산같이 인간의 유물에서만 찾지 않는다. 지구 생명이 수 개념을 가지기 시작했음을 보여 주는 가장 오래된 증거를 찾아 1억 5000만 년 전 개미가 지구에 처음 등장했을 때로 거슬러 올라간다. 자신의 걸음걸이를 잴 수 있는 개미의 자그마한 뇌에서 수학의 기원을 찾는다. 픽오버가 생각할 때 수학은 인간만의 것이 아닐 수도 있기 때문이다. 진화론적 연구가 진전된다면, 그리고 수학에 대해서 우리가 좀 더 알게 된다면 수학의 기원은 더 오래전으로 거슬러 올라갈 수 있을지도 모른다. 아무튼 픽오버는 기원전 1억 5000만 년경에 처음 등장한 개미의 보행계에서 시작해 수학의 역사를 만들어 온 수많은 아이디어들, 정리들, 증명들, 그리고 그것들을 ‘발견’‘하고 개발해 인간의 수학 뇌를 진화시켜 온 수많은 수학자들의 이야기를 시간 순으로 소개해 장대한 ’수학의 연대기‘를 한눈에 조망할 수 있게 해 준다.

▸ 아름다운 수학 일러스트레이션들이 이루는 수학의 파노라마: 수학은 아름답다! 대부분의 수학책은 대부분의 독자들에게 펼치기도 두렵게 만드는 수식과 그래프로 가득하다. 그러나 클리퍼드 픽오버의 이 책은 250컷의 일러스트레이션과 사진으로 가득하다. 한 가지 항목을 1쪽은 텍스트로, 1쪽은 그림 자료로 설명하는 식이다. 《컴퓨터 앤드 그래픽스(Computers and Graphics)》의 편집 위원이고 스스로 컴퓨터 그래픽 아티스트이기도 하며 물리학 사진 공모전에서 최우수상을 받기도 한 픽오버는 자신이 설명하고자 하는 항목을 즉자적으로 설명하는 그림이 아니라 독자들의 수학 뇌를 일깨울 수 있는 이미지를 신중하게 선별해 배치해 놓았다. 수학자의 초상화 같은 자료 도판에서부터 시작해, 복잡한 방정식을 시각화한 컴퓨터 시뮬레이션의 한 컷, 테자 크라섹이나 피트 하인, 폴 닐랜더 같은 아티스트와 수학자가 결합해 내놓은 최첨단의 컴퓨터 그래픽 아트에 이르기까지 책 곳곳을 수놓는 아름다운 수학 일러스트레이션과 사진 들은 말 그대로 ‘수학의 파노라마’를 이룬다.

▸ 순수 수학만이 아니라 응용 수학까지 수학의 전 분야를 망라: 수학은 현실과 동떨어진 학문이라고 생각하기 쉽다. 수학 못하는 학생들이 항상 입에 달고 다니는 “수학 배워서 어디다 써먹나?” 하는 질문처럼 현대 수학자들은 일상과 동떨어진 세계에서 사는 것 같다는 편견이 사회 저변에 넓게 퍼져 있다. 그러나 수학은 모든 곳에 편재한다. 현대의 산업 문명은 수학 없이는 존재할 수 없다. 고대 수학자들은 이자를 계산하고 세금을 계산하기 위해 숫자를 발명했고, 현대의 수학자들은 주식 시장을 작동시키는 데 미분 방정식을 사용한다. 또 현대의 인터넷은 수학자들이 발명한 컴퓨터, 알고리듬, 공개 키 암호 기술이나 정보 이론이 없었다면 성립할 수도 없었을 것이다. 픽오버는 소수(prime number)나 무한 같은 추상적인 수학 연구가 실용적인 기술 개발과 어떻게 결합하고, 반대로 주판이나 전자 계산기 같은 실용적인 응용 연구가 순수 수학의 발전에 영향을 미친 나선 진화적 과정을 책 곳곳에서 생생하게 소개한다. 고대의 회계 장부일지도 모르는 바빌로니아의 점토판에서 현대 미국 특허청의 특허 신청 문서까지 진지하게 뒤지면서 순수 수학과 응용 수학이 만나는 접점을 탐색한다. 응용 수학에 대한 관심이 증대하고 있는 현재, 학생들은 물론이고 교사와 일반인 들도 수학의 쓸모에 대한 의심을 불식시켜 줄 단 한 권의 책이 있다면 바로 이 책이다.

▸ 수학의 한 축을 떠맡아 온 수학 퍼즐에 대한 상세한 소개: 많은 사람들이 수학을 따분한 학문으로 여긴다. 그러나 사실 수학은 인간이 할 수 있는 가장 고상한 ‘놀이’이다. 생존에 직접 도움이 되지 않는 잉여 활동을 유희라고 한다면 그 정점에 수학 퍼즐이 있다. 스스로가 수학 퍼즐이나 게임, 그리고 장난감의 디자이너이기도 한 클리퍼드 픽오버는 이 책에서도 상당한 분량을 수학 관련 퍼즐이나 수수께끼, 또는 게임 들을 소개하는 할애한다. 이 책에서 소개된 수학 퍼즐이나 게임들에 대해 읽고 혹시 집에 있는 루빅스 큐브 같은 수학 장난감을 만지작거리다 보면 어느 순간 “이런 것도 수학이었어!” 하는 깨달음을 얻게 된다.

수학 뇌(腦)를 진화시킨 250개의 아이디어!

“어쩌면 신의 천사들 중 하나가 카오스의 망망대해를 들여다보다 그것을 손가락으로 살짝 휘저었으리라.
이 지극히 작고 일시적인 방정식의 소용돌이로부터 우리 우주가 형태를 갖추었다.” -마틴 가드너(수학 저술가)

“현대 물리학의 위대한 방정식들은 과학 지식의 영원한 일부로, 심지어 구시대의 아름다운 성당들보다도 더 오래도록 남을 것이다.” -스티븐 와인버그(물리학자, 노벨상 수상자)

자연은 한 권의 책이다. 그 책은 수학으로 씌어져 있다. -갈릴레오 갈릴레이

이 책에는 다음 주제들이 소개되어 있다. ⋯⋯ 매듭(기원전 10만 년), 이상고 뼈(기원전 1만 8000년), 주사위(기원전 3000년), 마방진(기원전 2200년), 틱택토(기원전 1300년), 피타고라스 정리와 삼각형(기원전 600년), 바둑(기원전 548년), 제논의 역설(기원전 445년), 아리스토텔레스의 바퀴 역설(기원전 320년), π(기원전 250년), 파푸스의 육각형 정리(340년), 0의 발견(650년), 주판(1200년), 코사인 법칙(1427년), 황금률(1509년), 메르카토르 투영법(1569년), 페르마의 마지막 정리(1637년), 데카르트의 #기하학##(1637년), 사영 기하학(1639년), 파스칼의 삼각형(1654년), 지구를 밧줄로 감싸기(1702년), 오일러의 수(1727년), 정규 분포 곡선(1733년), 오일러의 다면체 공식(1751년), 최소 제곱법(1795년), 정십칠각형 만들기(1796년), 푸리에 급수(1807년), 베셀 함수(1817년), 코시의 『미적분학 요강』(1823년), 비둘기집 원리(1834년), 4색 정리(1852년), 뫼비우스의 띠(1858년), 리만 가설(1859년), 벤 다이어그램(1880년), 클라인 병(1882년), 하노이 탑(1883년), 푸앵카레 추측(1904년), 조르당 곡선 정리(1905년), 램지 이론(1928년), 괴델의 정리(1931년), 튜링 기계(1936년), 에니악(1946년), 죄수의 딜레마(1950년), 구 안팎 뒤집기(1958년), 카오스와 나비 효과(1963년), 울람 나선(1963년), 펜로즈 타일(1973년), 퍼코 매듭(1974년), 프랙털(1975년), 망델브로 집합(1980년), 공에서 삼각형 집어내기(1982년), 안드리카의 추측(1985년), 매스매티카(1988년), 나비 곡선(1989년), 수학적 우주 가설(2007년) ⋯⋯
이 250가지 항목들은 그 자체로 인류가 구축해 온 수학이라는 학문 체계를 이루는 핵심 정리들이요, 문제들이요, 성과들이다. 그리고 인류 정신이 수학 뇌를 진화시켜 오는 과정에서 남긴 이정표들이기도 하다. 인류는 이 수학적 성과들이 나오기 이전 시대로 되돌아갈 수는 없다. 그런 의미에서 이 책에서 소개하고 있는 각 항목들은 인류의 수학 체계를 구축해 온 천재들과 인류 자신에 대해 바치는 기념비이기도 하다.
클리퍼드 픽오버는 이 책을 위대한 수학 전도사였던 마틴 가드너에게 헌정하고 있다. 2010년에 타계한 마틴 가드너는 평생 65권의 책을 펴내며 미국 사회에서 수학 대중화에 커다란 공헌을 했다. 현대 미국 수학계와 과학계의 많은 학자들이 마틴 가드너의 ‘즐거운 수학 유희’에 이끌려 학계로 들어왔다. 클리퍼드 픽오버는 마틴 가드너의 후계자를 자임하고 있다. 마틴 가드너는 타계하기 직전 이 책에 대해서 이런 서평을 남겼다.

“클리퍼드 픽오버는 의심의 여지없이 박학다식한 작가이다. 그의 생산력은 놀라울 정도이다. 이 책에서 그의 박학함과 생산력이 아름답게 만나고 있다. 250편의 짧은 글들을 통해 픽오버는 인류 지식의 역사를 뒤흔든 위대한 정리들과 그 정리들을 발견해 낸 천재들을 소개하면서 수학의 진정한 역사를 드러내 준다. 전체적인 구성은 연대기적이다. 출발점은 무려 1억 5000만 년 전으로 거슬러 올라간다. 자신의 발걸음을 계산할 수 있는 개미의 진화까지 거슬러 올라가는 것이다. 그 장대한 연대기는 맥스 테그마크가 최근에 내놓은, 우리 우주가 수학의 기술 대상이 아니라 수학 그 자체일지도 모른다는 담대한 가설에서 일단락된다. 픽오버 박사의 수학에 대한 커다란 사랑과 그 신비에 대한 그의 외경은 이 아름다운 책의 구석구석에 묻어 있다. 수학의 역사를 직관적으로 보여 주는 일러스트레이션들만으로도 이 책의 값어치는 충분하다.” -마틴 가드너(수학 저술가)

책을 시작하며 7

이 책에 대하여 12

감사의 말 16

 

기원전 1억 5000만 년경 개미의 보행계 20

기원전 3000만 년경 수를 세는 영장류 22

기원전 100만 년경 매미와 소수 24

기원전 10만 년경 매듭 26

기원전 1만 8000년경 이상고 뼈 28

기원전 3000년경 키푸 30

기원전 3000년경 주사위 32

기원전 2200년경 마방진 34

기원전 1800년경 플림턴 322 36

기원전 1650년경 린드 파피루스 38

기원전 1300년경 틱택토 40

기원전 600년경 피타고라스 정리와 삼각형 42

기원전 548년 바둑 44

기원전 530년경 피타고라스 학파 46

기원전 445년경 제논의 역설 48

기원전 440년경 활꼴의 구적법 50

기원전 350년경 플라톤의 입체 52

기원전 350년경 아리스토텔레스의 『오르가논』 54

기원전 320년경 아리스토텔레스의 바퀴 역설 56

기원전 300년경 에우클레이데스의 『원론』 58

기원전 250년경 아르키메데스: 모래, 소 떼, 스토마키온 60

기원전 250년경 π 62

기원전 240년경 에라토스테네스의 체 64

기원전 240년경 아르키메데스의 준정다면체 66

기원전 225년 아르키메데스의 나선 68

기원전 180년경 디오클레스의 질주선 70

150년경 프톨레마이오스의 『알마게스트』 72

250년 디오판토스의 『산수론』 74

340년경 파푸스의 육각형 정리 76

350년경 바크샬리 필사본 78

415년 히파티아의 죽음 80

650년경 0 82

800년경 앨퀸의 『영재를 위한 문제집』 84

830년 알콰리즈미의 『대수학』 86

834년 보로메오 고리 88

850년 『가니타 사라 삼그라하』 90

850년경 타비트의 친화수 공식 92

953년경 『인도 수학서』 94

1070년 오마르 카이얌의 논문 96

1150년경 알사마왈의 『눈부신 대수학』 98

1200년경 주판 100

1202년 피보나치의 『주판서』 102

1256년 체스판에 밀알 올리기 104

1350년경 조화 급수의 발산 106

1427년경 코사인 법칙 108

1478년 『트레비소 아리트메트릭』 110

1500년경 π 공식의 발견 112

1509년 황금률 114

1518년 『폴리그라피아이』 116

1537년 항정선 118

1545년 카르다노의 『아르스 마그나』 120

1556년 『수마리오 콤펜디오소』 122

1569년 메르카토르 투영법 124

1572년 허수 126

1611년 케플러 추측 128

1614년 로그 130

1621년 계산자 132

1636년 페르마의 나선 134

1637년 페르마의 마지막 정리 136

1637년 데카르트의 『기하학』 138

1637년 심장형 140

1638년 로그 나선 142

1639년 사영 기하학 144

1641년 토리첼리의 트럼펫 146

1654년 파스칼의 삼각형 148

1657년 닐의 반3차 포물선 150

1659년 비비아니의 정리 152

1665년경 미적분의 발견 154

1669년 뉴턴의 방법 156

1673년 등시 곡선 문제 158

1674년 성망형 160

1696년 로피탈의 『무한소 분석』 162

1702년 지구를 밧줄로 감싸기 164

1713년 큰 수의 법칙 166

1727년 오일러의 수, e 168

1730년 스털링의 공식 170

1733년 정규 분포 곡선 172

1735년 오일러-마스케로니 상수 174

1736년 쾨니히스베르크 다리 176

1738년 상트페테르부르크 역설 178

1742년 골드바흐의 추측 180

1748년 아녜시의 『이탈리아 청년들을 위한 해석학』 182

1751년 오일러의 다면체 공식 184

1751년 오일러의 다각형 자르기 186

1759년 기사의 여행 188

1761년 베이즈 정리 190

1769년 프랭클린의 마방진 192

1774년 극소 곡면 194

1777년 뷔퐁의 바늘 196

1779년 36명 장교 문제 198

1789년경 산가쿠 기하학 200

1795년 최소 제곱법 202

1796년 정십칠각형 만들기 204

1797년 대수학의 기본 정리 206

1801년 가우스의 『산술 논고』 208

1801년 삼각 각도기 210

1807년 푸리에 급수 212

1812년 라플라스의 「확률 분석 이론」 214

1816년 루퍼트 대공 문제 216

1817년 베셀 함수 218

1822년 배비지 기계식 컴퓨터 220

1823년 코시의 『미적분학 요강』 222

1827년 무게 중심 미적분 224

1829년 비유클리드 기하학 226

1831년 뫼비우스 함수 228

1832년 군론 230

1834년 비둘기집 원리 232

1843년 사원수 234

1844년 초월수 236

1844년 카탈랑 추측 238

1850년 실베스터 행렬 240

1852년 4색 정리 242

1854년 불 대수학 244

1857년 아이코시안 게임 246

1857년 하모노그래프 248

1858년 뫼비우스의 띠 250

1858년 홀디치의 정리 252

1859년 리만 가설 254

1868년 벨트라미의 의구 256

1872년 바이어슈트라스 함수 258

1872년 그로스의 『바게노디어 이론』 260

1874년 코발레프스카야의 박사 학위 262

1874년 슬라이딩 퍼즐 264

1874년 칸토어의 초한수 266

1875년 륄로 삼각형 268

1876년 조화 해석기 270

1879년 금전 등록기 272

1880년 벤 다이어그램 274

1881년 벤퍼드의 법칙 276

1882년 클라인 병 278

1883년 하노이 탑 280

1884년 『평면 세계』 282

1888년 테서랙트 284

1889년 페아노 공리 286

1890년 페아노 곡선 288

1891년 벽지 군 290

1893년 실베스터의 선 문제 292

1896년 소수 정리 증명 294

1899년 픽의 정리 296

1899년 몰리의 3등분 정리 298

1900년 힐베르트의 23가지 문제 300

1900년 카이제곱 302

1901년 보이 곡면 304

1901년 이발사 역설 306

1901년 융의 정리 308

1904년 푸앵카레 추측 310

1904년 코크 눈송이 312

1904년 체르멜로 선택 공리 314

1905년 조르당 곡선 정리 316

1906년 튜에-모스 수열 318

1909년 브라우어 부동점 정리 320

1909년 정규수 322

1909년 불의 『철학과 재미있는 대수학』 324

1910~1913년 『수학 원리』 326

1912년 털북숭이 공 정리 328

1913년 무한 원숭이 정리 330

1916년 비버바흐 추측 332

1916년 존슨의 정리 334

1918년 하우스도르프 차원 336

1919년 브룬 상수 338

1920년경 구골 340

1920년 앙투안의 목걸이 342

1921년 뇌터의 『환 영역에서의 아이디얼 이론』 344

1921년 초공간의 미아 346

1922년 지오데식 돔 348

1924년 알렉산더의 뿔난 구 350

1924년 바나흐-타르스키 역설 352

1925년 직사각형의 정사각형 해부 354

1925년 힐베르트의 그랜드 호텔 356

1926년 멩거 스폰지 358

1927년 미분 해석기 360

1928년 램지 이론 362

1931년 괴델의 정리 364

1933년 챔퍼나운 수 366

1935년 부르바키: 비밀 결사 368

1936년 필즈 상 370

1936년 튜링 기계 372

1936년 보더버그 타일 덮기 374

1937년 콜라츠 추측 376

1938년 포드 원 378

1938년 난수 생성기 380

1939년 생일 역설 382

1940년경 다각형에 외접원 그리기 384

1942년 헥스 386

1945년 피그 게임 전략 388

1946년 에니악 390

1946년 중앙 제곱 난수 생성기 392

1947년 그레이 부호 394

1948년 정보 이론 396

1948년 쿠르타 계산기 398

1949년 차사르 다면체 400

1950년 내시 평형 402

1950년경 해안선 역설 404

1950년 죄수의 딜레마 406

1952년 세포 자동자 408

1957년 마틴 가드너의 즐거운 수학 410

1958년 길브레스의 추측 412

1958년 구 안팎 뒤집기 414

1958년 플라톤의 당구 416

1959년 아우터 빌리어즈 418

1960년 뉴컴의 역설 420

1960년 시에르핀스키 수 422

1963년 카오스와 나비 효과 424

1963년 울람 나선 426

1963년 연속체 가설 불확정성 428

1965년경 거대 달걀 430

1965년 퍼지 논리 432

1966년 인스턴트 인새니티 434

1967년 랭글랜즈 프로그램 436

1967년 스프라우츠 438

1968년 급변 이론 440

1969년 토카르스키의 밝힐 수 없는 방 442

1970년 도널드 커누스와 마스터마인드 444

1971년 에르되시와 극한적 협력 446

1972년 HP-35 448

1973년 펜로즈 타일 450

1973년 미술관 정리 452

1974년 루빅스 큐브 454

1974년 차이틴의 오메가 456

1974년 초현실수 458

1974년 퍼코 매듭 460

1975년 프랙털 462

1975년 파이겐바움 상수 464

1977년 공개 키 암호 466

1977년 스칠라시 다면체 468

1979년 이케다 끌개 470

1979년 스피드론 472

1980년 망델브로 집합 474

1981년 괴물 군 476

1982년 공에서 삼각형 꺼내기 478

1984년 존스 다항식 480

1985년 윅스 다양체 482

1985년 안드리카의 추측 484

1985년 ABC 추측 486

1986년 오디오액티브 수열 488

1988년 매스매티카 490

1988년 머피의 법칙과 매듭 492

1989년 나비 곡선 494

1996년 온라인 정수열 백과사전 496

1999년 이터니티 퍼즐 498

1999년 완전 4차원 마방진 500

1999년 파론도의 역설 502

1999년 구멍 다면체 풀기 504

2001년 침대보 문제 506

2002년 아와리 게임 508

2002년 테트리스는 NP-완전 510

2005년 「넘버스」 512

2007년 체커 514

2007년 리 군 E8 516

2007년 수학적 우주 가설 518

참고 문헌 520

도판 저작권 527